Den Backofen auf 200°C Ober-/Unterhitze (180°C Umluft) vorheizen. Eine Auflaufform leicht einfetten.
Die geschälten und gewürfelten Kartoffeln in einen Topf mit gesalzenem Wasser geben, aufkochen lassen und zugedeckt ca. 20 Minuten weich kochen.
Während die Kartoffeln kochen, das Pflanzenöl in einer großen Pfanne erhitzen. Die Zwiebelwürfel darin glasig dünsten. Das Hackfleisch hinzufügen und krümelig anbraten, bis es gut gebräunt ist.
Das gut abgetropfte Sauerkraut zum Hackfleisch geben und alles für etwa 5 Minuten unter Rühren mitbraten. Die Mischung kräftig mit Salz, Pfeffer und dem edelsüßen Paprikapulver würzen. Anschließend die Hackfleisch-Sauerkraut-Mischung gleichmäßig in der vorbereiteten Auflaufform verteilen.
Die gekochten Kartoffeln abgießen und gut ausdampfen lassen. Die warme Milch und die Butter hinzufügen und alles mit einem Kartoffelstampfer zu einem cremigen Püree verarbeiten. Das Kartoffelpüree mit Salz, Pfeffer und einer Prise Muskatnuss abschmecken.
Das fertige Kartoffelpüree gleichmäßig auf der Hackfleisch-Sauerkraut-Schicht in der Auflaufform verstreichen. Mit einer Gabel kann ein wellenförmiges Muster erzeugt werden.
Den geriebenen Käse gleichmäßig über dem Kartoffelpüree verteilen. Den Auflauf im vorgeheizten Ofen auf der mittleren Schiene für ca. 25-30 Minuten backen, bis die Käsekruste goldbraun und knusprig ist.
Den Sauerkrautauflauf aus dem Ofen nehmen, kurz ruhen lassen und anschließend heiß servieren.